祭祀主催者の決定方法

民法897条第1項に祭祀主宰者は被相続人の指定に従い承継されると記載されています。
　この場合の「指定」の成立要件をお伺いします。
　背景として、被相続人は生前30年ほど前から、次男を跡継ぎと口頭により指名（告知？）し、親戚一同、兄弟一同及び次男もこれを許容してきました。加えて、祖父母、母が健在の折、父は墓所を移転し、その際に墓石（詳しくは、墓石の石扉）に移転の顛末、及び、次代が次男であることを刻んでおります。
　しかし、所謂、遺言状と言った書面による指定はなされていません。
　民法897条第1項では、「書面による」指定と記載されず、単に「指定」と記載されていることから、墓石の記載や生前の告知により、「指定」されていると考えます。法律上、このように考え手もよろしいでしょうか。ご教授をお願いします。