弁護士に頼むと、調査とはどういった方法があるのか？

弁護士による調査方法の一つとしては、①弁護士会を通して金融機関や証券会社に照会する方法がありますが、必ずしも強制力があるわけではないため、照会先が回答拒否すると調査は容易ではありません。他には、②探偵に依頼する方法、③訴訟に移行した場合に、裁判所を通して調査嘱託を行なう方法等が考えられます。
また、通常1600万を引出す理由は考えにくく、特にご相談者様がお母様と同居していたとか、お母様の預金や投資信託を管理していた事実があれば、ご兄弟から1600万の行先についてかなり追及されるのではないかと思います。少なくとも1600万の使途が不明である以上、ご相談者様への贈与を裏付けるため、上記以外の方法も含め、全力で調査するのではないかと思います。
何らかの形でご自身の投資信託への入金が判明すれば、贈与有と認定される可能性が高いでしょう。
実際に1600万の贈与を受けたのであれば、特別受益としてお母様の相続財産に戻す形で精算すべき、と回答せざるをえません。もし、贈与の点を秘匿して遺産分割協議を行なっても（秘匿したまま遺産分割協議が成立するかも問題ですが）、後で錯誤無効になってしまう可能性があります。